يعتبر القطع الزائد من المواضيع الأساسية في دراسة الهندسة التحليلية والقطوع المخروطية، فهو شكل رياضي يتكرر ظهوره في العديد من التطبيقات العملية مثل الفيزياء والفلك والهندسة حيث يساعدنا فهم خصائصه على تفسير حركات الأجرام السماوية ومسارات الأقمار الصناعية وحتى بعض الظواهر الطبيعية، ومن خلال هذا المقال سوف نتعرف على تعريف القطع الزائد وخصائصه وكيفية التمييز بينه وبين بقية القطوع المخروطية.
تعريف القطع الزائد في الرياضيات
القطع الزائد هو أحد أشكال القطوع المخروطية التي تنتج عند تقاطع سطح المخروط مع مستوى مائل على المحور الرئيسي بحيث يقطع كلا نصفي المخروط، كما يتميز القطع الزائد بكونه يتكون من فرعين متماثلين يشبهان المنحنى المفتوح، وهذا الشكل يوضح مدى اتساعه وعدم انغلاقه على نفسه مقارنة بالقطع الناقص.
كيف أفرق بين القطع الزائد والناقص؟
- القطع الناقص شكل مغلق بيضاوي بينما القطع الزائد مفتوح ويتكون من فرعين متناظرين.
- معادلة القطع الناقص تحتوي على عملية جمع بينما معادلة القطع الزائد تحتوي على عملية طرح.
- القطع الناقص يشبه المدار المغلق مثل مدارات الكواكب، أما القطع الزائد فيمثل منحنى مفتوح يشبه مسارات المذنبات العابرة.
- القطع الزائد لا يحيط بمساحة محدودة بينما القطع الناقص يحدد مساحة داخلية مغلقة.
- يمكن استخدام الرسوم البيانية لتمييز الشكلين بسهولة.
ما هو مثال على القطع الزائد؟
من الأمثلة العملية على القطع الزائد المسار الذي يتبعه جسم فضائي يمر بالقرب من كوكب بفعل الجاذبية ثم يبتعد عنه دون أن يعود إليه، حيث يشكل منحنى مفتوح، كما يظهر القطع الزائد في تصميم بعض الهوائيات العاكسة التي تساعد على تجميع الموجات وإعادة توجيهها.
القطع المكافئ والناقص والزائد
- القطع المكافئ: ينتج عندما يكون المستوى موازي لخط التولد في المخروط ويشبه شكل الحرف U.
- القطع الناقص: ينتج عن تقاطع المستوى مع المخروط بشكل مغلق يشبه البيضة أو المدار.
- القطع الزائد: ينتج عن تقاطع المستوى مع كلا نصفي المخروط ليشكل منحنيين مفتوحين.
انواع القطع الزائد
- قطع زائد أفقي يكون فرعاه متجهين إلى اليمين واليسار.
- قطع زائد رأسي يكون فرعاه متجهين إلى الأعلى والأسفل.
- قطع زائد مائل يتكون عندما يكون المستوى مائل بشكل غير متماثل بالنسبة للمخروط.
- قطع زائد قائم هو نوع خاص من القطع الزائد حيث يكون محوره الأساسي موازي = لأحد المحاور الإحداثية.
تعريف القطع المكافئ
القطع المكافئ هو أحد أنواع القطوع المخروطية التي تنتج من تقاطع المخروط مع مستوى موازي لخط التولد، ويشبه شكل الحرف U، وهو مختلف عن القطع الزائد والناقص بكونه مفتوح لكن باتجاه واحد فقط.
معادلة القطع الزائد والناقص
- معادلة القطع الناقص: x²/a² + y²/b² = 1 وتدل على شكل مغلق.
- معادلة القطع الزائد: x²/a² – y²/b² = 1 أو y²/a² – x²/b² = 1 وهي تعبر عن فرعين متناظرين مفتوحين.
من خلال دراسة القطع الزائد والتمييز بينه وبين باقي القطوع المخروطية نستطيع أن ندرك دوره في تطبيقات متعددة مثل الفيزياء والفلك والهندسة، فهو ليس مجرد شكل رياضي نظري، بل يمثل أداة لفهم ظواهر طبيعية ومسارات حقيقية في الكون.
